Question

如圖，設(shè)P是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，M、N是單位圓上的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，∠POM=

π

3

，∠PON=α，α∈[0，π），f(α)=

OM

•

ON

，則f（a）的范圍為（　�。�

• A、(-

  1

  2

  ，1]
• B、[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )
• C、[-

  1

  2

  ，1)
• D、(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：根據(jù)M、N是單位圓上的兩點(diǎn)，∠POM=

π

3

，∠PON=α，以及三角函數(shù)的定義寫出點(diǎn)N，M的坐標(biāo)，求出

OM

、

ON

，并代入f(α)=

OM

•

ON

，利用三角恒等變形，化簡為sin（α+

π

6

），要求f(α)=

OM

•

ON

的范圍，只需求sin（α+

π

6

），在區(qū)間[0，π）上的最值即可．

解答：解：∵M(jìn)、N是單位圓上的兩點(diǎn)，∠POM=

π

3

，∠PON=α，
∴M（

1

2

，

3

2

），N（cosα，sinα），
∴

OM

=（

1

2

，

3

2

），

ON

=（cosα，sinα），
∴f(α)=

OM

•

ON

=

1

2

cosα+

3

2

sinα=sin（α+

π

6

），
∵α∈[0，π），
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

），
∴sin（α+

π

6

）∈(-

1

2

，1]．
故選A．

點(diǎn)評：此題是個中檔題．考查向量在幾何中的應(yīng)用，同時考查了三角函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．