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在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數列.

(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；

(3)求數列{an}前n項的和.

 

【答案】

解：∵an,Sn,Sn－成等比數列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)                       (*)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

同理可得：a4=－,由此可推出：an=

(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜想成立.

②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立

故Sk2=－·(Sk－)

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

∴Sk= (舍)

由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

由①②知，an=對一切n∈N成立.

(3)由(2)得數列前n項和Sn= .

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，a=
12
，前n項和Sn=n2an，求an+1．

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在數列{an}中,a1=a,前n項和Sn構成公比為q的等比數列,________________.

(先在橫線上填上一個結論,然后再解答)

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在數列{an}中，a，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{}的前n項和為Tn，證明：．

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