【題目】如圖,在中,,,為的中點(diǎn),,.現(xiàn)將沿翻折至,得四棱錐.
(1)證明:;
(2)若,求直線與平面所成角的正切值
【答案】(1)證明見解析;(2)7
【解析】
(1)設(shè)為的中點(diǎn),通過證明,來證明面,從而證得;
(2)法一:連結(jié),設(shè)在面上的射影點(diǎn)為,則由題知點(diǎn)在上,且為直線與平面所成角,通過條件算出,,即可求得直線與平面所成角的正切值;
法二:如圖,以為原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量法求解直線與平面所成角的正切值.
(1)設(shè)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,則,
故,則,
又,則,
所以是的角平分線,且三點(diǎn)共線.
由,且,得面,則;
(2)法一:連結(jié).
由平面得,平面平面,交線為,
所以在面上的射影點(diǎn)在上,
為直線與平面所成角.
在中,,由余弦定理得,
,故,,
又,在得,由余弦定理得,則,
所以,
由(1)得為角平分線,
在中,,由余弦定理得,則,所以
,所以直線與平面所成角的正切值為7.
法二:如圖,以為原點(diǎn),為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
,
設(shè),由,得
,
得.,
平面法向量為,設(shè)直線與平面所成角為,所以
,,則,
所以直線與平面所成角的正切值為7.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)調(diào)查某城市80名有子女在讀小學(xué)的成年人,以研究晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)時(shí)間段輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別的關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表:
是否輔導(dǎo) 性別 | 輔導(dǎo) | 不輔導(dǎo) | 合計(jì) |
男 | 25 | 60 | |
女 | |||
合計(jì) | 40 | 80 |
(1)請將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整;
(2)用樣本的頻率估計(jì)總體的概率,估計(jì)這個(gè)城市有子女在讀小學(xué)的成人女性晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)輔導(dǎo)子女作業(yè)的概率;
(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%以上的把握認(rèn)為“晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)時(shí)間段是否輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別有關(guān)?”.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】羽毛球比賽中,首局比賽由裁判員采用拋球的方法決定誰先發(fā)球,在每回合爭奪中,贏方得1分且獲得發(fā)球權(quán).每一局中,獲勝規(guī)則如下:①率先得到21分的一方贏得該局比賽;②如果雙方得分出現(xiàn),需要領(lǐng)先對方2分才算該局獲勝;③如果雙方得分出現(xiàn),先取得30分的一方該局獲勝.現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行對抗賽,在每回合爭奪中,若甲發(fā)球時(shí),甲得分的概率為;乙發(fā)球時(shí),甲得分的概率為.
(Ⅰ)若,記“甲以贏一局”的概率為,試比較與的大;
(Ⅱ)根據(jù)對以往甲、乙兩名運(yùn)動員的比賽進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,得到如下列聯(lián)表部分?jǐn)?shù)據(jù).若不考慮其它因素對比賽的影響,并以表中兩人發(fā)球時(shí)甲得分的頻率作為,的值.
甲得分 | 乙得分 | 總計(jì) | |
甲發(fā)球 | 50 | 100 | |
乙發(fā)球 | 60 | 90 | |
總計(jì) | 190 |
①完成列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“比賽得分與接、發(fā)球有關(guān)”?
②已知在某局比中,雙方戰(zhàn)成,且輪到乙發(fā)球,記雙方再戰(zhàn)回合此局比賽結(jié)束,求的分布列與期望.
參考公式:,其中.
臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線(不經(jīng)過點(diǎn)且不與軸重合)與橢圓交于兩點(diǎn),與直線:交于點(diǎn),記直線的斜率分別為.則是否存在常數(shù),使得向量 共線?若存在求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年初,新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)在我國爆發(fā),全國人民團(tuán)結(jié)一心、積極抗疫,為全世界疫情防控爭取了寶貴的時(shí)間,積累了豐富的經(jīng)驗(yàn).某研究小組為了研究某城市肺炎感染人數(shù)的增長情況,在官方網(wǎng)站.上搜集了7組數(shù)據(jù),并依據(jù)數(shù)據(jù)制成如下散點(diǎn)圖:
圖中表示日期代號(例如2月1日記為“1”,2月2日記為“2”,以此類推).通過對散點(diǎn)圖的分析,結(jié)合病毒傳播的相關(guān)知識,該研究小組決定用指數(shù)型函數(shù)模型來擬合,為求出關(guān)于的回歸方程,可令,則與線性相關(guān).初步整理后,得到如下數(shù)據(jù):,.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程:
(2)求關(guān)于的回歸方程;若防控不當(dāng),請問為何值時(shí),累計(jì)確診人數(shù)的預(yù)報(bào)值將超過1000人?(參考數(shù)據(jù):,結(jié)果保留整數(shù))
附:對于一組數(shù)據(jù),其線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號,鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,對高三年級隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績后得到如下列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù)不少于120分 | 分?jǐn)?shù)不足120分 | 合計(jì) | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí) | 4 | 19 | |
線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí) | |||
合計(jì) | 45 |
(1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;
(2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);
②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.
(下面的臨界值表供參考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊長分別等于a,b,c,列舉如下五個(gè)條件:①;②;③cosA+cos2A=0;④a=4;⑤△ABC的面積等于.
(1)請?jiān)谖鍌(gè)條件中選擇一個(gè)(只需選擇一個(gè))能夠確定角A大小的條件來求角A;
(2)在(1)的結(jié)論的基礎(chǔ)上,再在所給條件中選擇一個(gè)(只需選擇一個(gè)),求△ABC周長的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會知識,弘揚(yáng)奧林匹克精神,北京市多所中小學(xué)校開展了模擬冬奧會各項(xiàng)比賽的活動.為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)中的參與情況,在北京市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校,10所學(xué)校的參與人數(shù)如下:
(Ⅰ)現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查.求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人的概率;
(Ⅱ)現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo),記X為教練選中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)某校聘請了一名越野滑輪教練,對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個(gè)動作進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定:這3個(gè)動作中至少有2個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)”,總考核記為“優(yōu)”.在指導(dǎo)前,該校甲同學(xué)3個(gè)動作中每個(gè)動作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中,甲同學(xué)總考核成績?yōu)?/span>“優(yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點(diǎn)在平面上的射影恰好在上.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明:平面平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.
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