【題目】已知橢圓： 的離心率為，點(diǎn)在橢圓上， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)為橢圓上的三點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，證明：四邊形的面積為定值，并求該定值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓離心率，可得 ，將 代入橢圓方程可得 ，則橢圓方程可求；

（2）分情況討論，當(dāng)不存在時(shí)， 方程為： 或，可得 ．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為： ， ， ．

將的方程代入得： ，可求得

由得： ，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得： ．又到直線的距離，，最后由

.

綜上，平行四邊形的面積為定值．

試題解析：

（1）由，得，

將代入橢圓的方程可得，所以，

故橢圓的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 方程為： 或，

從而有，

所以．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線方程為： ， ， ．

將的方程代入整理得： ，

所以， ，

，

由得： ，

將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得： ．

點(diǎn)到直線的距離，

，

.

綜上，平行四邊形的面積為定值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校要用甲、乙、丙三輛校車(chē)把教職工從老校區(qū)接到校本部,已知從老校區(qū)到校本部有兩條公路,校車(chē)走公路①時(shí)堵車(chē)的概率為,校車(chē)走公路②時(shí)堵車(chē)的概率為p.若甲、乙兩輛校車(chē)走公路①,丙校車(chē)由于其他原因走公路②,且三輛校車(chē)是否堵車(chē)相互之間沒(méi)有影響.

(1)若三輛校車(chē)中恰有一輛校車(chē)被堵的概率為,求走公路②堵車(chē)的概率;

(2)在(1)的條件下,求三輛校車(chē)中被堵車(chē)輛的輛數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中， 平面， 平面，且是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形， ， 與平面所成角的余弦值為， 是線段上一點(diǎn)．

（Ⅰ）若是線段的中點(diǎn)，證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市春節(jié)期間7家超市的廣告費(fèi)支出（萬(wàn)元）和銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：

超市

A

B

C

D

E

F

G

廣告費(fèi)支出

1

2

4

6

11

13

19

銷(xiāo)售額

19

32

40

44

52

53

54

（1）若用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）用二次函數(shù)回歸模型擬合與的關(guān)系，可得回歸方程：，

經(jīng)計(jì)算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的分別約為和，請(qǐng)用說(shuō)明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)超市廣告費(fèi)支出為3萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額．

參數(shù)數(shù)據(jù)及公式：，，

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市春節(jié)期間7家超市的廣告費(fèi)支出（萬(wàn)元）和銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：

（1）若用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）用二次函數(shù)回歸模型擬合與的關(guān)系，可得回歸方程： ，計(jì)算二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的分別約為0.75和0.97，請(qǐng)用說(shuō)明選擇個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)超市廣告費(fèi)支出為8萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額.

參考數(shù)據(jù)： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知， .

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，P是直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B（1，0），直線l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線，過(guò)A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

（1）求證：|EA|+|EB|為定值；

（2）設(shè)直線l交直線x=4于點(diǎn)Q，證明：|EB||FQ|=|BF|EQ|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題正確的是__________．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

①已知，“且”是“”的充要條件；

②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分條件；

③已知，“”是“”的充分不必要條件；

④命題：“，使且”的否定為：“，都有且”

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