某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是個半圓,固定點E為CD的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿(MN和AB、DC不重合).
(1)當MN和AB之間的距離為1米時,求此時三角通風窗EMN的通風面積;
(2)設MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù)S=f(x);
(3)當MN與AB之間的距離為多少米時,三角通風窗EMN的通風面積最大?并求出這個最大面積.

【答案】分析:(1)當MN和AB之間的距離為1米時,MN應位于DC上方,且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米,從而可求MN的長,由三角形面積公式求面積
(2)當MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動,即時,由三角形面積公式建立面積模型.當MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動,即時,由三角形面積公式建立面積模型.
(3)根據(jù)分段函數(shù),分別求得每段上的最大值,最后取它們當中最大的,即為原函數(shù)的最大值,并明確取值的狀態(tài),從而得到實際問題的建設方案.
解答:解:(1)由題意,當MN和AB之間的距離為1米時,MN應位于DC上方,且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米,又因為EM=EN=1米,所以MN=米,所以,即三角通風窗EMN的通風面積為
(2)當MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動,即時,△EMN的面積;
當MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動,即時,△EMN的面積
綜上可得;
(3)當MN在矩形區(qū)域內(nèi)滑動時,f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則f(x)<f(0)=
當MN在半圓形區(qū)域內(nèi)滑動,等號成立時,
因此當(米)時,每個三角形得到最大通風面積為平方米.
點評:本題主要考查函數(shù)模型的建立與應用,主要涉及了三角形面積公式,分段函數(shù)求最值以及基本不等式法等解題方法.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•普陀區(qū)二模)某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是個半圓,固定點E為CD的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿(MN和AB、DC不重合).
(1)當MN和AB之間的距離為1米時,求此時三角通風窗EMN的通風面積;
(2)設MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù)S=f(x);
(3)當MN與AB之間的距離為多少米時,三角通風窗EMN的通風面積最大?并求出這個最大面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù);
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是正方形,其中AB=2米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù);
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是正方形,其中AB=2米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù);
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2009年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是個半圓,固定點E為CD的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿(MN和AB、DC不重合).
(1)當MN和AB之間的距離為1米時,求此時三角通風窗EMN的通風面積;
(2)設MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù)S=f(x);
(3)當MN與AB之間的距離為多少米時,三角通風窗EMN的通風面積最大?并求出這個最大面積.

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