【題目】已知橢圓，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)（與不重合）.

（1）證明：直線過定點(diǎn)；

（2）若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求四邊形的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】

（1）先設(shè)出直線的方程，利用垂直關(guān)系求出的值即可；

（2）由（1）有直線的方程為，，，求得中點(diǎn)，根據(jù)，求得，再由四邊形的面積為，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算可得所求值.

（1）根據(jù)題意有：直線、、斜率均存在.

設(shè)，、

聯(lián)立：，有：，

所以：，.

因?yàn)?/span>，

所以：，

化簡得：，

所以：，

化簡得：，解得或.

當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，則與或重合，不滿足題意，舍去，

所以：，即

所以：直線過定點(diǎn).

（2）由（1）有：，

則：，，.

如圖所示：

設(shè)線段的中點(diǎn)為，

則：，.

因?yàn)橐?/span>為圓心的圓與直線相切于的中點(diǎn)，

所以：，

又因?yàn)椋?/span>，且與平行，

所以：，

解得或.

由上圖有：四邊形的面積.

①當(dāng)時(shí)：，易得：、，

所以：.

②當(dāng)時(shí)：

有：，

所以：.

由①②有：或.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】新能源汽車已經(jīng)走進(jìn)我們的生活，逐漸為大家所青睞.現(xiàn)在有某品牌的新能源汽車在甲市進(jìn)行預(yù)售，預(yù)售場面異�；鸨试摻�(jīng)銷商采用競價(jià)策略基本規(guī)則是：①競價(jià)者都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià)，每個(gè)人并不知曉其他人的報(bào)價(jià)，也不知道參與競價(jià)的總?cè)藬?shù)；②競價(jià)采用“一月一期制”，當(dāng)月競價(jià)時(shí)間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期汽車配額，按照競價(jià)人的出價(jià)從高到低分配名額.某人擬參加2020年6月份的汽車競價(jià)，他為了預(yù)測最低成交價(jià)，根據(jù)網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月參與競價(jià)的人數(shù)（如下表）

月份

2020.01

2020.02

2020.03

2020.04

2020.05

月份編號(hào)

1

2

3

4

5

競拍人數(shù)（萬人）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合競價(jià)人數(shù)y（萬人）與月份編號(hào)t之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：，并預(yù)測2020年6月份（月份編號(hào)為6）參與競價(jià)的人數(shù)；

（2）某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)200位擬參加2020年6月份汽車競價(jià)人員的報(bào)價(jià)進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：

報(bào)價(jià)區(qū)間（萬元）

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

（i）求這200位競價(jià)人員報(bào)價(jià)的平均值和樣本方差s2（同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

（ii）假設(shè)所有參與競價(jià)人員的報(bào)價(jià)X可視為服從正態(tài)分布且μ與σ2可分別由（i）中所示的樣本平均數(shù)及s2估計(jì).若2020年月6份計(jì)劃提供的新能源車輛數(shù)為3174，根據(jù)市場調(diào)研，最低成交價(jià)高于樣本平均數(shù)，請你預(yù)測（需說明理由）最低成交價(jià).

參考公式及數(shù)據(jù)：

①回歸方程，其中

②

③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,四棱錐的側(cè)面是正三角形,,且,,是中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若平面平面,且,求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(γ為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐秘系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l：()與交于點(diǎn)B，其中．

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的普通方程；

（2）過點(diǎn)A的直線m與交于M，N兩點(diǎn)，若，且，求α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形，現(xiàn)在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正三角形外的概率為（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，若，則，且，設(shè)，集合中元素的最小值記為；集合，集合中元素最小值記為.

（1）對(duì)于數(shù)列：，求，；

（2）求證：；

（3）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知 ，，.

（1）求角；

（2）若點(diǎn)滿足，求的長.

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