Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)．證明：對(duì)任意，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)可得 ；（2）由（1）知，．設(shè),再利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行求解；（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，故只需證明在時(shí)成立,再利用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行證明．

試題解析：（1），由已知，，．

（2）由（1）知，．

設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，

由知，當(dāng)時(shí)，從而，

當(dāng)時(shí)，從而，

綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，

故只需證明在時(shí)成立．

當(dāng)時(shí)，，且，．

設(shè)，，則 ，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

所以．

綜上，對(duì)任意，．