【題目】已知函數(shù)fx)=x2+ax+blnxa,bR),曲線yfx)在點(1,f1))處的切線方程為2xy20

1)判斷fx)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,并說明理由;

2)若對任意的x∈(1,+∞),不等式fxmex11)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】1fx)在(0,+∞)上為增函數(shù);見解析(2[2,+∞

【解析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用f(1)=2f(1)=0聯(lián)立不等式組求解a,b的值,則函數(shù)解析式可求.(1)f′(x)0(0,+∞)上恒成立,可得f(x)(0,+∞)上為增函數(shù);

(2)對任意的x(1,+∞),不等式f(x)≤m(ex11)恒成立,即x2x+lnxm(ex11)恒成立,令g(x)m(ex11)x2+xlnx,求其導(dǎo)函數(shù),分析可知當(dāng)m≥2時,g′(x)g′(1)≥0,g(x)單調(diào)遞增,則g(x)g(1)0;當(dāng)0m2時,g′(x)0(1,+∞)上必有實數(shù)根,設(shè)最小的正數(shù)根為x0,當(dāng)x(1,x0)時,g′(x)0,g(x)單調(diào)遞減,則g(x)g(1)0,與題設(shè)不符;當(dāng)m≤0時,g′(x)0,則g(x)單調(diào)遞減,g(x)g(1)0,與題意不符.

解:由f(x)=x2+ax+blnx,得f(x)=2x+a(x0).

由曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線方程為2xy20,

,即a=﹣1,b1

f(x)=x2x+lnx

(1)∵f(x)=2x10在(0,+∞)上恒成立,

f(x)在(0+∞)上為增函數(shù);

(2)由(1)得,f(x)x2x+lnx,

對任意的x(1,+∞),不等式f(x)≤m(ex11)恒成立,

x2x+lnxm(ex11)恒成立,

g(x)m(ex11)f(x)m(ex11)x2+xlnx

g′(x),注意到g(1)0,g′(1)m2

要使得對任意的x(1,+∞),不等式f(x)≤m(ex11)恒成立,即g(x)≥0

則必有g′(x)(1,1+δ)(其中δ為任意小的正數(shù))大于0,亦有g′(1)≥0,則m≥2

當(dāng)m≥2時,令u(x)g′(x),

u′(x)2ex120

u(x)(1,+∞)上單調(diào)遞增,則g′(x)g′(1)≥0,

g(x)單調(diào)遞增,則g(x)g(1)0;

當(dāng)0m2時,g′(1)m20,當(dāng)x→+∞時,g′(x)→+∞,

g′(x)0(1+∞)上必有實數(shù)根,設(shè)最小的正數(shù)根為x0

則當(dāng)x(1,x0)時,g′(x)0,g(x)單調(diào)遞減,則g(x)g(1)0,與題設(shè)不符;

當(dāng)m≤0時,g′(x)0,則g(x)單調(diào)遞減,g(x)g(1)0,與題意不符.

綜上所述,m的取值范圍為[2,+∞)

練習(xí)冊系列答案
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