Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)，，分別為橢圓的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，的面積為，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，又橢圓的離心率為，由此即可求出橢圓方程；

（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，化簡可得，由此得到韋達(dá)定理，再根據(jù)，可由坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo)，再將點(diǎn)坐標(biāo)帶入橢圓方程，建立關(guān)于的方程，解方程，即可求出結(jié)果.

（1）設(shè)，由題意可知，……①

由橢圓的離心率為，即……②

聯(lián)立 ，解得 ；

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立

可得，

又直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，則

即或；

設(shè)，，

則，

所以，

設(shè)，

又，所以，

所以，

又點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，所以，即

所以，

所以，即，

可得，

可得，且滿足或；

故.