已知橢圓的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直線l：3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓在x軸上方的一個交點為P，F(xiàn)是橢圓的右焦點，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系．
（Ⅰ）設橢圓的左右焦點分別為F1（-c，0）、F2（c，0），
直線3x-2y=0與橢圓的一個交點坐標是M(c，
3c
2
)，
根據(jù)橢圓的定義得：|MF1|+|MF2|=2a，
即
[c-(-c)]2+(
3c
2
)2
+
(c-c)2+(
3c
2
)2
=2a，即4c=2a①，
又
a2
c
=4②，a2=b2+c2③，聯(lián)立①②③三式解得a=2，b=
3
，c=1，
所以橢圓的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直線與橢圓的一個交點為P（1，
3
2
），F(xiàn)（1，0），
則以PF為直徑的圓的方程是(x-1)2+(y-
3
4
)2=
9
16
，圓心為（1，
3
4
），半徑為
3
4
，；
以橢圓長軸為直徑的圓的方程是x2+y2=4，圓心是（0，0），半徑是2，
兩圓心距為
12+(
3
4
)2
=
5
4
=2-
3
4
，所以兩圓內(nèi)切．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，左焦點為F，過原點的直線l交橢圓于M，N兩點，△FMN面積的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設P，A，B是橢圓E上異于頂點的三點，Q（m，n）是單位圓x2+y2=1上任一點，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
②求OA2+OB2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

直線y=kx與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右兩支都有交點的充要條件是k∈（-1，1），且該雙曲線與直線y=
1
2
x-
3
2
相交所得弦長為
4
15
3
，則該雙曲線方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的頂點在原點，焦點F與雙曲線x2-
y2
4
=1的右頂點重合．
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線l經(jīng)過焦點F，且傾斜角為60°，與拋物線交于A、B兩點，求：弦長|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知三角形△ABC的兩頂點為B（-2，0），C（2，0），它的周長為10，求頂點A軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過點C（4，0）的直線與雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的右支交于A、B兩點，則直線AB的斜率k的取值范圍是（　　）
A．|k|≥1B．|k|＞
3
C．|k|≤
3
D．|k|＜1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F1的坐標為（-1，0），已知橢圓E上的一點到F1、F2兩點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的右焦點F2作一條傾斜角為
π
4
的直線交橢圓于C、D，求△CDF1的面積；
（Ⅲ）設點P（4，t）（t≠0），A、B分別是橢圓的左、右頂點，若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點M、N，求證∠MBP為銳角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
6
3
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
5
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標為-
1
2
，求斜率k的值；
②已知點M(-
7
3
，0)，求證：
MA
•
MB
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，頂點為O，準線為l，過該拋物線上異于頂點O的任意一點A作AA1⊥l于點A1，以線段AF，AA1為鄰邊作平行四邊形AFCA1，連接直線AC交l于點D，延長AF交拋物線于另一點B．若△AOB的面積為S△AOB，△ABD的面積為S△ABD，則
(S△AOB)2
S△ABD
的最大值為______．

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