Question

【題目】以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓 與直線(xiàn)相切.

（1）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且截圓所得弦長(zhǎng)為求直線(xiàn) 的方程；

（2）設(shè)圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為 的直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，且 ，證明：直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）或 ；（2）.

【解析】

分析：（1）先由直線(xiàn)和圓相切得到圓的方程，再由垂徑定理列式，分直線(xiàn)斜率存在與不存在兩種情況得到結(jié)果；（3）聯(lián)立直線(xiàn)和圓，由韋達(dá)定理得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，由這兩個(gè)點(diǎn)寫(xiě)出直線(xiàn)方程，進(jìn)而得到直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

詳解：

(1)∵圓與直線(xiàn) 相切，

∴圓心到直線(xiàn)的距離為，

∴圓的方程為：

若直線(xiàn)的斜率不存在，直線(xiàn)為 ，

此時(shí)直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為 ，符合題意；

若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)為 ，

由題意知，圓心到直線(xiàn)的距離為 ，解得：，

此時(shí)直線(xiàn)為，

則所求的直線(xiàn)為或

（2）由題意知， ，設(shè)直線(xiàn)，

與圓方程聯(lián)立得： ，

消去得： ，

∴∴，

用換掉得到B點(diǎn)坐標(biāo)

∴，

∴直線(xiàn)AB的方程為

整理得：

則直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)為.