【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C過點,焦點,圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標(biāo);
②直線l與橢圓C交于兩點.若的面積為,求直線l的方程.
【答案】(1)橢圓C的方程為;圓O的方程為
(2)①點P的坐標(biāo)為;②直線l的方程為
【解析】分析:(1)根據(jù)條件易得圓的半徑,即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)點在橢圓上,解方程組可得a,b,即得橢圓方程;(2)第一問先根據(jù)直線與圓相切得一方程,再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程,解方程組可得切點坐標(biāo).第二問先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長,再結(jié)合①中方程組,利用求根公式以及兩點間距離公式,列方程,解得切點坐標(biāo),即得直線方程.
詳解:解:(1)因為橢圓C的焦點為,
可設(shè)橢圓C的方程為.又點在橢圓C上,
所以,解得
因此,橢圓C的方程為.
因為圓O的直徑為,所以其方程為.
(2)①設(shè)直線l與圓O相切于,則,
所以直線l的方程為,即.
由,消去y,得
.(*)
因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點,
所以.
因為,所以.
因此,點P的坐標(biāo)為.
②因為三角形OAB的面積為,所以,從而.
設(shè),
由(*)得,
所以
.
因為,
所以,即,
解得舍去),則,因此P的坐標(biāo)為.
綜上,直線l的方程為.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線,斜率為的直線經(jīng)過焦點,且與交于兩點滿足.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知線段的垂直平分線與拋物線交于兩點, 為線段的中點,記點到直線的距離為,若,求的值.
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【題目】已知函數(shù),,,令.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.
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【題目】對定義在[0,1]上,并且同時滿足以下兩個條件的函數(shù)f(x)稱為G函數(shù).
①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
②當(dāng)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時,總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.已知函數(shù)g(x)=x2與h(x)=2x﹣b是定義在[0,1]上的函數(shù).
(1)試問函數(shù)g(x)是否為G函數(shù)?并說明理由;
(2)若函數(shù)h(x)是G函數(shù),求實數(shù)b組成的集合.
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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足an+1+an=9·2n-1,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若不等式Sn>kan-2對一切n∈N*恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若的圖像與直線相切,求
(Ⅱ)若且函數(shù)的零點為,
設(shè)函數(shù)試討論函數(shù)的零點個數(shù).(為自然常數(shù))
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【題目】共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種創(chuàng)新模式,對于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效,由于停取方便、租用價格低廉,各色共享單車受到人們的熱捧.某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車,已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一輛新樣式單車需要增加投入100元.根據(jù)初步測算,自行車廠的總收益(單位:元)滿足分段函數(shù) 其中x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位:輛),利潤=總收益-總成本.
(1)試將自行車廠的利潤y元表示為月產(chǎn)量x的函數(shù);
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時自行車廠的利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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