平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，An（xn，yn）是直線l：y=kx+b上的n個(gè)點(diǎn)
（n∈N*，k、b均為非零常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{xn}成等差數(shù)列，求證：數(shù)列{yn}也成等差數(shù)列；
（2）若點(diǎn)P是直線l上一點(diǎn)，且
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
，求a1+a2的值；
（3）若點(diǎn)P滿足
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
+…+an
OAn
，我們稱
OP
是向量
OA1
，
OA2
，…，
OAn
的線性組合，{an}是該線性組合的系數(shù)數(shù)列．當(dāng)
OP
是向量
OA1
，
OA2
，…，
OAn
的線性組合時(shí)，請(qǐng)參考以下線索：
①系數(shù)數(shù)列{an}需滿足怎樣的條件，點(diǎn)P會(huì)落在直線l上？
②若點(diǎn)P落在直線l上，系數(shù)數(shù)列{an}會(huì)滿足怎樣的結(jié)論？
③能否根據(jù)你給出的系數(shù)數(shù)列{an}滿足的條件，確定在直線l上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)或坐標(biāo)？
試提出一個(gè)相關(guān)命題（或猜想）并開展研究，寫出你的研究過程．[本小題將根據(jù)你提出的命題（或猜想）的完備程度和研究過程中體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評(píng)分]．
分析：（1）若設(shè)等差數(shù)列{xn}的公差為d，易得yn+1-yn為常數(shù)，即證數(shù)列{yn}是等差數(shù)列；
（2）由點(diǎn)P、A1和A2都是直線l上的點(diǎn)，知
A1P
=λ
PA2
（其中λ≠-1）；由向量的線性運(yùn)算，得
OP
=
OA1
+
A1P
=
OA1
+λ
PA2
=
OA1
+λ(
OA2
-
OP
)；整理可得
OP
=
1
1+λ
OA1
+
λ
1+λ
OA2
；即得a1+a2的值；
（3）設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
+…+an
OAn
，則x=a1x1+a2x2+…+anxn，當(dāng)i+j=n+1時(shí)，有ai=aj，所以x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，則2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+…+an（xn+x1），由數(shù)列{xn}是等差數(shù)列，則x1+xn=x2+xn-1=…=xn+x1，可得2x，從而得x，同理得y；即得點(diǎn)P在直線l上．
解答：解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列{xn}的公差為d，因?yàn)閥n+1-yn=（kxn+1+b）-（kxn+b）=k（xn+1-xn）=kd是常數(shù)，
∴數(shù)列{yn}等差數(shù)列．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)P、A1和A2都是直線l上一點(diǎn)，故有
A1P
=λ
PA2
（其中λ≠-1）；
于是，
OP
=
OA1
+
A1P
=
OA1
+λ
PA2
=
OA1
+λ(
OA2
-
OP
)；
∴(1+λ)
OP
=
OA1
+λ
OA2
，即
OP
=
1
1+λ
OA1
+
λ
1+λ
OA2
；
令a1=
1
1+λ
，a2=
λ
1+λ
，則有a1+a2=1．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
+…+an
OAn
，
則有x=a1x1+a2x2+…+anxn，且當(dāng)i+j=n+1時(shí)，恒有ai=aj，
所以有x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，
所以2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+…+an（xn+x1），
又因?yàn)閿?shù)列{xn}成等差數(shù)列，于是x1+xn=x2+xn-1=…=xn+x1，
所以，2x=（a1+a2+…+an）（x1+xn）=x1+xn；
故x=
x1+xn
2
，同理y=
y1+yn
2
，且點(diǎn)P(
x1+xn
2
，
y1+yn
2
)在直線l上（是A1、An的中點(diǎn)），
即存在點(diǎn)P(
x1+xn
2
，
y1+yn
2
)滿足要求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列以及平面向量知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于較難的題目；解題時(shí)須要認(rèn)真審題，細(xì)心解答，以免出錯(cuò)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，“方程
x2
k-1
+
y2
k-3
=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”的充要條件是k∈
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Pn（n，n2）（n∈N+）是拋物線y=x2上的點(diǎn)，△OPnPn+1的面積為Sn．
（1）求Sn；
（2）化簡(jiǎn)
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（3）試證明S1+S2+…+Sn=
n(n+1)(n+2)
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(4+2
3
，2)，B(4，4)，圓C是△OAB的外接圓．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)（2，6）的直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：
x=-2+
3
5
t
y=2+
4
5
t
（t為參數(shù)），它與曲線C：（y-2）2-x2=1交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|的長(zhǎng)；
（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2
2
，
3π
4
)，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形ABCD的兩邊AB，CD分別落在x軸、y軸的正半軸上，且AB=2，AD=4，點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合．現(xiàn)將矩形折疊，使點(diǎn)A落在線段DC上，若折痕所在的直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程及k的范圍．

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