Question

【題目】給正有理數(shù)、（，，，且和不同時(shí)成立），按以下規(guī)則排列：① 若，則排在前面；② 若，且，則排在的前面，按此規(guī)則排列得到數(shù)列.

（例如：）.

（1）依次寫出數(shù)列的前10項(xiàng)；

（2）對(duì)數(shù)列中小于1的各項(xiàng)，按以下規(guī)則排列：①各項(xiàng)不做化簡(jiǎn)運(yùn)算；②分母小的項(xiàng)排在前面；③分母相同的兩項(xiàng)，分子小的項(xiàng)排在前面，得到數(shù)列，求數(shù)列的前10項(xiàng)的和，前2019項(xiàng)的和；

（3）對(duì)數(shù)列中所有整數(shù)項(xiàng)，由小到大取前2019個(gè)互不相等的整數(shù)項(xiàng)構(gòu)成集合，的子集滿足：對(duì)任意的，有，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）1010.

【解析】

（1）依題意，數(shù)列{an}的前10項(xiàng)為：，，，，，，，，；

（2）按規(guī)則Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，求前2019項(xiàng)的和S2019時(shí)，先確定最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，進(jìn)而求解；

（3）A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010項(xiàng)，進(jìn)而求解；

（1）依題意，數(shù)列{an}的前10項(xiàng)為：，，，，，，，，，；

（2）依題意按規(guī)則Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，

∴前10項(xiàng)和為：S105；

求前2019項(xiàng)的和S2019時(shí)，先確定最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的值，令2019＝1+2+3+…+n即2019，∴n∈（63，64），

數(shù)列分母取遍2至64時(shí)，共有2016項(xiàng)，所有分母為65的還有3項(xiàng)，即：，，，

∴數(shù)列{bn}前2019項(xiàng)為：{，，，，，，，，，，，，，，}，

當(dāng)n∈[2，64]時(shí)，對(duì)分母為n的小段求和：S，

∴當(dāng)n∈[2，64]時(shí)，對(duì)63個(gè)小段相加求和：S′1008，

S2019＝S′1008，

（3）依題意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010項(xiàng)，這種情況B中的元素最多．