Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1)的定義域?yàn)?/span>，.對(duì)a分類討論，解不等式即可得到的單調(diào)性；

（2）利用（1）中的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問(wèn)題.

解：（1）的定義域?yàn)?/span>，.

①當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，

所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只要，所以.（因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，）

下面我們討論當(dāng)時(shí)的情形：

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

因?yàn)?/span>，，所以，沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).