如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD

(1)求證：平面PAC⊥平面PBD；

(2)求PC與平面PBD所成的角；

(3)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使得PC⊥平面ADE？若存在，請(qǐng)加以證明，并求此時(shí)二面角A—ED－B的大小；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

(1)證明：∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，又∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，又平面PBD，∴平面PAC⊥平面PB

D．

(2)記AC與BD相交于O，連結(jié)PO，由(1)知，AC⊥平面PBD，∴PC在面PBD內(nèi)的射影是PO，∴∠CPO就是PC與面PBD所成的角，∵PD＝AD，∴在Rt△PDC中，，而在正方形ABCD中，，∴在Rt△POC中，有∠CPO＝30°，即PC與面PBD所成的角為30°．

(3)在面PBD內(nèi)作DE⊥PO交PB于點(diǎn)E，連AE，則PC⊥平面ADE，證明如下：由(1)知，AC⊥平面PBD，∴AC⊥DE，又PO、AC交于點(diǎn)O，∴DE⊥平面PAC，∴DE⊥PC，而PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，

又∵AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PC，∴PC⊥面ADE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于F，連AF，由三垂線定理可得，AF⊥DE，則∠OFA是二面角A—ED—B的平面角，設(shè)PD＝AD＝a，

在Rt△PDC中，求得，而，∴在Rt△AOF中，∠OFA＝60°，即所求的二面角A—ED—B的大小為60°．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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