Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，試比較與1的大小；

（3）求證：

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍是或；（2）①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；③當(dāng)時(shí)，，即；（3）證明過程詳見解析.

【解析】試題分析：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值等數(shù)學(xué)知識和方法，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題和解決問題的能力，考查函數(shù)思想和分類討論思想.第一問，先將代入得到解析式，因?yàn)?/span>僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以和僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以關(guān)鍵是的圖像，對求導(dǎo)，令和判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值和最值所在位置，求出具體的數(shù)值，便可以描繪出函數(shù)圖像，來決定的位置；第二問，先將代入，得到解析式，作差法比較大小，得到新函數(shù)，判斷的正負(fù)即可，通過對求導(dǎo)，可以看出在上是增函數(shù)且，所以分情況會(huì)出現(xiàn)3種大小關(guān)系；第三問，法一：利用第二問的結(jié)論，得到表達(dá)式，再利用不等式的性質(zhì)得到所證表達(dá)式的右邊，左邊是利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，得證；法二，用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明當(dāng)時(shí)不等式成立，再假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，然后利用假設(shè)的結(jié)論證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域是，

，令，得或.

∵當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴的極大值是，極小值是.

∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是或． 4分

（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>．

令，

，

在上是增函數(shù)．

①當(dāng)時(shí)，，即；

②當(dāng)時(shí)，，即；

③當(dāng)時(shí)，，即． 8分

（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

．，

． 12分

(法二)當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即．

時(shí)， ．

根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立.