Question

（選做題）已知曲線C：（φ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將C的方程化為普通方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求2x+y的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，得cosφ=，sinφ=
∵cos²φ+sin²φ=1，∴（）²+（）²=1
因此，將C的方程化為普通方程為；
（II）∵點(diǎn)P（x，y）是曲線C：上的動(dòng)點(diǎn)，（φ為參數(shù)）
∴設(shè)P（4cosφ，3sinφ），可得2x+y=8cosφ+3sinφ=sin（φ+θ），
其中θ是滿足tanθ=的銳角
∵sin（φ+θ）∈[-1，1]
∴sin（φ+θ）∈[-，]
即2x+y的取值范圍是[-，]
分析：（I）由題意，得cosφ=，sinφ=，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得（）²+（）²=1，化簡即得曲線C的普通方程；
（II）設(shè)P（4cosφ，3sinφ），可得2x+y=8cosφ+3sinφ，再用輔助角公式合并，可得2x+y=sin（φ+θ），最后根據(jù)一個(gè)角的正弦值總在區(qū)間[-1，1]，可得2x+y的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的參數(shù)方程為例，著重考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)的化簡與求值，以及參數(shù)方程與普通方程的互化等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．