Question

 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．已知A，B的橫坐標(biāo)分別為

5

5

，

7 2

10

．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求2α+β的值．

Answer 1

分析：（1）先求出兩個(gè)銳角α，β的余弦，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦，進(jìn)而利用商數(shù)關(guān)系得到兩角的正切值，代入正切的和角公式求值．
（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根據(jù)其正切值求2α+β的值，再確定其值前要先確定2α+β的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得：cosα=

5

5

，cosβ=

7 2

10

．∵α，β為銳角，∴sinα=

2 5

5

，sinβ=

2

10

．
∴tanα=2，tanβ=

1

7

．∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

2+ 1 7

1-2× 1 7

=3．
（2）∵tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

4

1-4

=-

4

3

，∴tan(2α+β)=

tan2α+tanβ

1-tan2α•tanβ

=

- 4 3 + 1 7

1-(- 4 3 )× 1 7

=-1．
∵α，β為銳角，∴0＜2α+β＜

3π

2

，
∴2α+β=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，求解的關(guān)鍵是利用公式求出角的正切值，再求角．本題中涉及到了三角函數(shù)中的多個(gè)公式，變形靈活，做題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化正確．本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想．