Question

如圖，已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，直線AF，BF分別與拋物線交于點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）求y₁y₂的值；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的斜率為k，求證：直線MN的斜率為2k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)過P的直線方程為x=my+2，代入y²=4x，可得y²-4my-8=0，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論；
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），設(shè)AM直線為x=ty+1，聯(lián)立y²=4x得y²-4ty-4=0，求出M，N的坐標(biāo)，再利用斜率公式，即可得證．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)過P的直線方程為x=my+2，代入y²=4x，消去x得y²-4my-8=0，
∴y₁y₂=-8
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
設(shè)AM直線為x=ty+1，聯(lián)立y²=4x，消去x得y²-4ty-4=0，∴y₁y₃=-4，得y3=

-4

y1

同理得y4=

-4

y2

，
又∵x1x3=

y12y32

16

=1，∴x3=

1

x1

，
同理得x4=

1

x2

，

∴kMN= y4-y3 x4-x3 = -4 y2 - -4 y1 1 x2 - 1 x1 = 4(y2-y1) y1y2 x1-x2 x1x2 = x1x2 y1y2 • 4(y2-y1) -(x2-x1) = y12y22 16 y1y2 •(-4)k= y1y2 16 •(-4)k=2k

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．