Question

已知S_n是數(shù)列{

1

n

}的前n項(xiàng)和，
（1）分別計(jì)算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）證明：當(dāng)n≥1時(shí)，S2^-S2n-1≥

1

2

，并指出等號(hào)成立條件；
（3）利用（2）的結(jié)論，找出一個(gè)適當(dāng)?shù)腡∈N，使得S_T＞2010；
（4）是否存在關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f（n），使得S₁+S₂+…+S_n-1=f（n）（S_n-1）對(duì)于大于1的正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）較為簡(jiǎn)單，代入可計(jì)算；
（2）由（1）可猜想（2）的結(jié)論也是成立的，證明時(shí)要適當(dāng)?shù)姆趴s每一項(xiàng)（共2^n-1項(xiàng)）都縮小為

1

2n

，
（3）的解答可由（2）的結(jié)論想到：新數(shù)列S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄…中每一項(xiàng)的值都大于等于

1

2

，那么4018項(xiàng)的和為2009，于是對(duì)于數(shù)列{a_n}中連同a₁就有2⁴⁰¹⁹項(xiàng)，即a₁+S24019-S24018＞1+2009=2010．
（4）可利用數(shù)學(xué)歸納法，思路是利用n=1，2時(shí)的結(jié)論猜想命題成立，然后用歸納法證明即可，關(guān)鍵是如何利用好歸納假設(shè)．

解答：解：
（1）S₂-S₁=

1

2

，
S₄-S₂=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
S₈-S₄=

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

=

168+140+120+105

840

=

533

840

．（2分）
（2）當(dāng)n≥1時(shí)，S2n-S2n-1=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

（共2^n-1項(xiàng)）
≥

1

2n

×2^n-1=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，等號(hào)成立．（4分）
（3）由于S₁=1，當(dāng)n≥1時(shí)，S2^-S2n-1≥

1

2

，
于是，要使得S_T＞2010，只需

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2009．
將

1

2

+

1

3

++

1

n

按照第一組2¹項(xiàng)，第二組2²項(xiàng)，，第n組2ⁿ項(xiàng)的方式分組（6分）
由（2）可知，每一組的和不小于

1

2

，且只有n=1時(shí)等于

1

2

，
將這樣的分組連續(xù)取2×2009組，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁹項(xiàng)，
這2⁴⁰¹⁹項(xiàng)之和一定大于1+2009=2010，
故只需T=2⁴⁰¹⁹，就能使得S_T＞2010；（8分）
（注：只要取出的T不小于2⁴⁰¹⁵，并說(shuō)出相應(yīng)理由，都給滿分）
（4）設(shè)這樣的f（n）存在，n=2時(shí)，
有1=f(2)(1+

1

2

-1)?f（2）=2，n=3時(shí)，有

5

2

=f(3)(1+

1

2

+

1

3

-1)?f（3）=3，
猜測(cè)f（n）=n（n≥2）．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=2，3時(shí)，上面已證，猜測(cè)正確；
②設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，f（n）=k即S₁+S₂++S_n-1=k（S_k-1）成立
則S₁+S₂++S_n-1+S_k=k（S_k-1）+S_k
=（k+1）S_k-k
=(k+1)(Sk+

1

k+1

-1)
=（k+1）（S_k+1-1）．
即n=（k+1）時(shí)，猜測(cè)也正確．
綜上所述，存在f（n）=n，使得S₁+S₂++S_n-1=f（n）（S_n-1）對(duì)于大于1的正整數(shù)都成立（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，不等式恒成立問(wèn)題，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，合理猜想與邏輯推理的概念．對(duì)不等式的考查有一定的難度，綜合性較強(qiáng)，需要同學(xué)有深厚的功底才能勝任本題的解答，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的考查較深．