Question

已知函數(shù) ．
（1）判斷函數(shù)在的單調(diào)性并用定義證明；
（2）令，求在區(qū)間的最大值的表達式．

Answer 1

（1）函數(shù)在遞增；證明詳見答案解析.
（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，．

解析試題分析：（1）先根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）由（1）先求出的表達式，再根據(jù)單調(diào)性求得各個區(qū)間的最大值，綜上即可求出在區(qū)間的最大值的表達式．
試題解析：（1）在遞增；
證明如下：
在區(qū)間上任取
則
而，所以，>0
所以，即函數(shù)在的單調(diào)遞增；（6分）
（2）若，，在遞增，，
若，）在遞減，，   （9分）
若，則      （11分）
當(dāng)時，函數(shù)遞增，，
當(dāng)時，函數(shù)遞減，；      （13分）
 ，當(dāng)時，，當(dāng)時，
．
綜上：時，，當(dāng)時，．  （15分）
考點：函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)求值域問題.