Question

如圖，已知M是函數(shù)y=4-x²（1＜x＜2）的圖象C上一點(diǎn)，過M點(diǎn)作曲線C的切線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：因?yàn)镸是函數(shù)y=4-x²（1＜x＜2）的圖象C上一點(diǎn)，設(shè)出M的坐標(biāo)，利用y′求出過M點(diǎn)曲線C的切線斜率k并寫出切線方程，就能得到A和B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)

OA×OB

2

得出三角形的面積與m的函數(shù)關(guān)系式S，令S′=0求出穩(wěn)定點(diǎn)，在0＜m＜2區(qū)間內(nèi)分區(qū)間討論函數(shù)的增減性，最后求出S的最小值即可．

解答：解：∵y=4-x²
∴y'=-2x．
設(shè)M（m，4-m²），則過M點(diǎn)曲線C的切線斜率k=-2m．
∴切線方程y-（4-m²）=-2m（x-m）． 由x=0，得y=4+m²，B（0，4+m²）．由y=0x=

4+m2

2m

，A(

4+m2

2m

，0)，其中0＜m＜2.設(shè)△AOB的面積為S，則S=S=

1

2

|4+m2|•|

4+m2

2m

|=

(4+m2)2

4m

=

m4+8m2+16

4m

，(0＜m＜2).
∴S′=

(4m3+16m)m-(m4+8m2+16)

4m2

=

3m4+8m2-16

4m2

.
令S′=0，得3m4+8m2-16=0，解得m=

2 3

3

∈(0，2).
當(dāng)m∈(0，

2 3

3

)時(shí)，S′＜0，S在區(qū)間(0，

2 3

3

)上為減函數(shù)；
當(dāng)m∈(

2 3

3

，2)時(shí)，S′＞0，S在區(qū)間(

2 3

3

，2)上為增函數(shù)；
∴當(dāng)m=

2 3

3

時(shí)S取得最小值，最小值為Smin=S(

2 3

3

)=

32 3

9

.

點(diǎn)評：本題考查曲線切線方程的寫法以及導(dǎo)數(shù)為零時(shí)函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)判斷函數(shù)的增減性，在閉區(qū)間利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法．