某漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為2噸,為保證魚群的生長空間,實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y噸和魚群實際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為
12
.(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;并指出這個函數(shù)的定義域.
(2)求魚群年增長量的最大值.
分析:(1)先求出空閑率,再利由魚群的年增長量y噸和實際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比,即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,及這個函數(shù)的定義域;
(2)由(1)中給出的y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,利用基本不等式,即可求魚群年增長量的最大值.
解答:解:(1)由題意,空閑率為1-
x
2
,
∴y=
1
2
x(1-
x
2
),定義域為(0,2);
(2)由(1)得y=
1
2
x(1-
x
2

∵x∈(0,2),∴1-
x
2
∈(0,1)
∴y=
1
2
x(1-
x
2
)≤(
x
2
+1-
x
2
2
)2
=
1
4
,當(dāng)且僅當(dāng)
1
2
x=1-
x
2
,即x=1時,取等號
∴x=1時,ymax=
1
4
點評:本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,將實際的最大(小)化問題,利用函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)是最優(yōu)化問題中,最常見的思路之一.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸,為保證魚群的生長,實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量,例如最大養(yǎng)殖量為10噸,實際養(yǎng)殖量為8噸,則空閑量為2噸.已知魚群的年增長量y噸和實際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).(空閑率為空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式,并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)求魚群年增長量的最大值及此時k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m,為了保證魚群的生長空間,實際養(yǎng)殖量x小于m,以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量,已知魚群的年增長量y和實際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0)
(I)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出該函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)求魚群年增長量的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸,為保證魚群的生長空間,實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量,必須留也適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y噸和實際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為k(k>0).(空閑率為空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值).
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)求魚群年增長量的最大值;
(3)當(dāng)魚群的年增長量達到最大值值時,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為2噸,為保證魚群的生長空間,實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y噸和魚群實際養(yǎng)殖量x噸與空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為數(shù)學(xué)公式.(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;并指出這個函數(shù)的定義域.
(2)求魚群年增長量的最大值.

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