Question

已知以F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線x+

3

y+4=0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（　�。�

• A、3

  2

• B、2

  6

• C、2

  7

• D、4

  2

Answer 1

分析：由題設(shè)條件可以求出橢圓的方程是

x2

a2

+

y2

a2-4

=1．再把橢圓和直線聯(lián)立方程組，由要根的判別式△=0能夠求出a的值，從而能夠求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a（且a＞2），則橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1．
由，

x2 a2 + y2 a2-4 =1 x+ 3 y+4=0

得（4a²-12）y²+8

3

（a²-4）y+（16-a²）（a²-4）=0．
∵直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，∴△=0，即192（a²-4）²-16（a²-3）×（16-a²）×（a²-4）=0．
解得a=0（舍去），a=2（舍去），a=

7

．∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2

7

．故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的基本知識(shí)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意a＞2這個(gè)前提條件，不要產(chǎn)生增根．