Question

已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足以下三個條件：①；②對任意的，都有；③當(dāng)時總有.
（1）試求的值；
（2）求的最大值；
（3）證明：當(dāng)時，恒有.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：（1）抽象函數(shù)求在特殊點(diǎn)的值，一般用賦值法，令代入抽象函數(shù)可得，又因為，可得.（2）在定義域內(nèi)求抽象函數(shù)最值，一般先判斷函數(shù)單調(diào)性，再求比較定義域端點(diǎn)的函數(shù)值和極值點(diǎn)的大小.證明單調(diào)性可令，代入得進(jìn)而得函數(shù)為增函數(shù)，最大值為；
（3）在上證不等式，要分兩段、.在上，，所以.在，，所以，進(jìn)而得證.
試題解析：（1）令則有，所以有，有根據(jù)條件?可知，故.（也可令）
方法一：設(shè)，則有，即為增函數(shù)（嚴(yán)格來講為不減函數(shù)），所以，故.
方法二：不妨令，所以由?，即增函數(shù)（嚴(yán)格來講為不減函數(shù)），所以，故.
（3）當(dāng)，有，又由?可知，所以有對任意的恒成立.當(dāng)，又由?可知，所以有對任意的恒成立.綜上，對任意的時，恒有.