（滿分12分）設(shè)底面邊長為的正四棱柱中，與平面 所成角為；點是棱上一點．

（1）求證：正四棱柱是正方體；

（2）若點在棱上滑動，求點到平面距離的最大值；

（3）在（2）的條件下，求二面角的大�。�

 

【答案】

（1）．證明：見解析；（２）點到平面的最大距離是；（３）.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中正方體概念，和點到面的距離的最值和二面角的求解和運算的綜合試題。

（1）利用正四棱柱的性質(zhì)，加上題目中的邊的關(guān)系，結(jié)合概念得到。

（2）對于點到面的距離關(guān)鍵是找到平面的垂線，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到點到面的距離的表示，從而求解最值。

（3）建立合理的空間直角坐標(biāo)系，然后設(shè)出法向量來表示二面角的平面角的大小來解決。

（1）．證明：設(shè)正四棱柱的側(cè)棱長為，作與,連接,

，,,

是與所成的角，

，即

所以四棱柱正四棱柱是正方體；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4＇

（２）．設(shè)點到平面的距離為，平面，點、到平面的距離相等為．在四面體中，體積，

，設(shè)是中點，當(dāng)也是棱中點時，，有平面，于，于，是一面直線和的公垂線段，是到直線的最短距離，的最小值是

，即點到平面的最大距離是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8＇

（３）．以 為原點，、、分別為、、軸建立平面直角坐標(biāo)系，由（２）知也是棱中點，則、、、，設(shè)平面的法向量，平面的法向量由

；

。

面角的大小是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２＇

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（）（本小題滿分12分）如圖，已知平面平行于三棱錐的底面，等邊三角形所在平面與面垂直，且，設(shè)。

（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；

（Ⅱ）求點與平面的距離；

（Ⅲ）求二面角的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年河北省高三一輪檢測復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖,側(cè)棱垂直底面的三棱柱的底面位于平行四邊形中,,,,點為中點。         

（Ⅰ）求證:平面平面；

（Ⅱ）設(shè)二面角的大小為,直線與

平面所成的角為,求的值。

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣西省高三高考模擬考試?yán)頂?shù) 題型：解答題

（本小題滿分12分）(注意:在試題卷上作答無效)

在四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）設(shè)為側(cè)棱上一點，，

試確定的值，使得二面角為.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

（本小題滿分12分）

已知平行六面體中，

各條棱長均為，底面是正方形，且，

設(shè)，，，

（1）用、、表示及求；

（2）求異面直線與所成的角的余弦值。

 

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