Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）令，已知函數(shù)，若對任意，總存在 ，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：（1）由條件知函數(shù)單調(diào)遞減則則需在上恒成立,即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。（2）若對任意，總存在.使得成立，則，函數(shù)在的值域是在的值域的子集.分別求兩個(gè)函數(shù)的值域，轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系即可。

（1）因?yàn)?/span>，

要使在為減函數(shù)，則需在上恒成立.

即在上恒成立，

因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，所以在的最小值為，

所以.

（2）因?yàn)?/span>，所以.

，

當(dāng)時(shí)， ， 在上為遞增，

當(dāng)時(shí)， ， 在上為遞減，

所以的最大值為，

所以的值域?yàn)?/span>.

若對任意，總存在.使得成立，則，

函數(shù)在的值域是在的值域的子集.

對于函數(shù)，

①當(dāng)時(shí)， 的最大值為，所以在上的值域?yàn)?/span>，

由得；

②當(dāng)時(shí)， 的最大值為，所以在上的值域?yàn)?/span>，

由得或 (舍）.

綜上所述， 的取值范圍是.