Question

（2013•嘉定區(qū)一模）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，滿足T_n=1-b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）寫出一個(gè)正整數(shù)m，使得

1

am+9

是數(shù)列{b_n}的項(xiàng)；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為cn=

an

an+t

，問：是否存在正整數(shù)t和k（k≥3），使得c₁，c₂，c_k成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的有序整數(shù)對(duì)（t，k）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而可得其通項(xiàng)；
（2）由已知可求得{b_n}的通項(xiàng)，只要m+4=2ⁿ即可，寫出一個(gè)滿足條件的即可；
（3）可得c_n，由c₁，c₂，c_k成等差數(shù)列，可得關(guān)于正整數(shù)t和k的式子，取整數(shù)驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由已知，有

2a1+16d=34 3a1+3d=9

，…（2分）
解得a₁=1，d=2，…（3分）
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1（n∈N^*）．…（4分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁=1-b₁，所以b1=

1

2

．…（1分）
由T_n=1-b_n，得T_n+1=1-b_n+1，兩式相減，得b_n+1=b_n-b_n+1，
故bn+1=

1

2

bn，…（2分）
所以，{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，所以bn=(

1

2

)n．…（3分）

1

am+9

=

1

2m+8

=

1

2(m+4)

，…（4分）
要使

1

am+9

是{b_n}中的項(xiàng)，只要m+4=2ⁿ即可，可取m=4．…（6分）
（3）由（1）知，cn=

2n-1

2n-1+t

，…（1分）
要使c₁，c₂，c_k成等差數(shù)列，必須2c₂=c₁+c_k，即

6

3+t

=

1

1+t

+

2k-1

2k-1+t

，…（2分）
化簡(jiǎn)得k=3+

4

t-1

．…（3分）
因?yàn)閗與t都是正整數(shù)，所以t只能取2，3，5．…（4分）
當(dāng)t=2時(shí)，k=7；當(dāng)t=3時(shí)，k=5；當(dāng)t=5時(shí)，k=4．…（5分）
綜上可知，存在符合條件的正整數(shù)t和k，所有符合條件的有序整數(shù)對(duì)（t，k）為：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．