甲、乙兩人參加一項智力競賽.在同一輪競賽中,兩人測試同一套試卷,成績由次到優(yōu),依次分為“合格”,“良好”,“優(yōu)秀”三個等級.根據(jù)以往成績可知,甲取得“合格”,“良好”,“優(yōu)秀”的概率分別為0.6,0.3,0.1;乙取得“合格”,“良好”,“優(yōu)秀”的概率分別為0.4,0.4,0.2.設(shè)甲、乙兩人參加競賽的過程相互獨(dú)立,且每個人的前后各輪次競賽成績互不影響.
(Ⅰ)求在一輪競賽中甲取得的成績等級優(yōu)于乙取得的成績等級的概率;
(Ⅱ)求在獨(dú)立的三輪競賽中,至少有兩輪甲取得的成績等級優(yōu)于乙取得的成績等級的概率.
分析:記A1,A2分別表示甲取得良好、優(yōu)秀,B1,B2分別表示乙取得合格、良好,A表示在一輪競賽中,甲取得的成績優(yōu)于乙取得的成績B表示在三輪競賽中至少有兩輪甲取得的成績優(yōu)于乙取得的成績,C1,C2分別表示三輪中恰有兩輪,三輪甲取得的成績優(yōu)于乙取得的成績.
(Ⅰ)即為事件A=A1•B1+A2•B1+A2•B2,發(fā)生,由相互獨(dú)立事件的概率公式可求
(Ⅱ)即為事件B=C1+C2發(fā)生,利用相互獨(dú)立事件的概率公式可求
解答:解:記A1,A2分別表示甲取得良好、優(yōu)秀,B1,B2分別表示乙取得合格、良好,A表示在一輪競賽中,甲取得的成績優(yōu)于乙取得的成績B表示在三輪競賽中至少有兩輪甲取得的成績優(yōu)于乙取得的成績,C1,C2分別表示三輪中恰有兩輪,三輪甲取得的成績優(yōu)于乙取得的成績.則
(Ⅰ)A=A1•B1+A2•B1+A2•B2,(2分)
P(A)=P(A1•B1+A2•B1+A2•B2)=P(A1•B1)+P(A2•B1)+P(A2•B2)=P(A1)×P(B1)+P(A2)×P(B1)+P(A2)×P(B2)=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2.(6分)
(Ⅱ)B=C1+C2,(8分)P(C1)=C32[P(A)]2[1-P(A)]=3×0.22×(1-0.2)=0.096,
P(C2)=[P(A)]3=0.23=0.008,
P(B)=P(C1+C2)=P(C1)+P(C2)=0.096+0.008=0.104.(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率公式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是要把題目中所求的事件分解為為已知基本事件來表示,然后結(jié)合相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式進(jìn)行求解
練習(xí)冊系列答案
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(2006•朝陽區(qū)三模)甲、乙兩人參加一項智力測試.已知在備選的10道題中,甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題.規(guī)定每位參賽者都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試,至少答對2道題才算通過.
(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人通過測試的概率.

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甲、乙兩人參加一項智力測試。已知在備選的10道題中,甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題。規(guī)定每位參賽者都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試,至少答對2道題才算通過。(I)求甲乙兩人均通過測試的概率;(II)求甲、乙兩人至少有一人通過測試的概率。

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甲、乙兩人參加一項智力測試.已知在備選的10道題中,甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題,規(guī)定每位參賽者都從備選項中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試,至少答對2道題才算通過.

(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)x的概率分布及數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人通過測試的概率.

 

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甲、乙兩人參加一項智力測試.已知在備選的10道題中,甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題,規(guī)定每位參賽者都從備選項中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試,至少答對2道題才算通過.

(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)x的概率分布及數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人通過測試的概率.

 

 

 

 

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