Question

如圖，A是拋物線x²=4y上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，l為拋物線在A點(diǎn)處的切線，點(diǎn)B、C在拋物線上，AB⊥l且交y軸于M，點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)共線，直線BC交y軸于N．
（1）求證：|AF|=|MF|；
（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出直線l的斜率，可得AB的斜率，從而可得直線AB的方程，令x=0，確定M的坐標(biāo)，從而可得|MF|=y+1，由拋物線的定義可得|AF|=y+1，則可得結(jié)論；
（2）先確定BC的斜率，進(jìn)而可得BC的方程，進(jìn)一步確定N的坐標(biāo)，可得|MN|，利用基本不等式，可得|MN|的最小值．
解答：（1）證明：設(shè)A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x²=4y，∴y=，∴，∴直線l的斜率k₁=
∵AB⊥l，∴k_AB=-，∴直線AB的方程為y-y=-（x-x）
令x=0，則y=y+2，∴M（0，y+2）
∵F（0，1），∴|MF|=y+1
由拋物線的定義可得|AF|=y+1，
∴|AF|=|MF|；
（2）解：直線AB的方程代入拋物線方程，消去y可得x²+x-2-y=0
∴x₁+x=-，∴x₁=-x-
設(shè)直線AC：y=kx+1代入拋物線方程，消去y可得x²-4kx-4=0，∴xx₂=-4，∴x₂=-
∴k_BC=-，∴直線BC的方程為y-y₂=（-）（x-x2）
令x=0得y=（-）（-x₂）+y₂，代入x₂=-，y₂=，化簡(jiǎn)得y=-1-
∴N（0，-1-），∴|MN|=y+2+1+=+3≥3+2當(dāng)且僅當(dāng)x⁴=32時(shí)等號(hào)成立，
∴|MN|的最小值為3+2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義，考查直線方程的求解，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．