精英家教網(wǎng)如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)，A，B是橢圓的兩個頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M的半徑為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A的直線l與圓M交于P、Q兩點(diǎn)，且
MP
•
MQ
=-2求直線l的方程．
分析：（Ⅰ）由題意知c=1，a=2，b=
3
，由此可知所求的橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（II）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），圓M的方程為（x-1）2+y2=4，過點(diǎn)A斜率不存在的直線與圓不相交，設(shè)直線l2的方程為y=k（x+2．由此入手可知所求直線的方程為x+2
2
y+2=0或X-2
2
y+2=0．
解答：解：（Ⅰ）F（-c，0），
∵橢圓的離心率為
1
2
，
∴∠FBO=300，∴b=
3
c，
∴B（0，
3
c），C（3c，0）
∴FC=4c=4，解得c=1，a=2，b=
3

∴所求的橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1；（6分）
（II）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
圓M的方程為（x-1）2+y2=4，
過點(diǎn)A斜率不存在的直線與圓不相交，
設(shè)直線l2的方程為y=k（x+2），（7分）
∵
MP
•
MQ
=-2，又|
MP
|=|
MQ
|=2，
∴cos＜MP，MQ＞=
MP
•
MQ
|
MP
|•|
MQ
|
=-
1
2
． （9分）
∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l2的距離d=
1
2
r=1，
所以
|k+2k|
k2+1
=1，
∴k=±
2
4
；
所求直線的方程為x+2
2
y+2=0或X-2
2
y+2=0． （12分）
點(diǎn)評：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)，A、B是橢圓的兩個頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
，點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，由B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線x+
3
y+3=0相切．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)N（x0，0），使得直線NP與直線NQ關(guān)于x軸對稱，求x0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，以F為圓心的圓過原點(diǎn)O和橢圓的右頂點(diǎn)，設(shè)P是橢圓的動點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)距離之和等于4
（Ⅰ）求橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=4，PM⊥l，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，F(xiàn)是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓的兩個頂點(diǎn)，橢圓的離心率為
1
2
，點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線l1：x+
3
y+3=0相切
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)A的直線l2與圓M交于P，Q兩點(diǎn)，且
MP
•
MQ
=-2，求直線l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖點(diǎn)F是橢圓的焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，且PF⊥x軸，OP∥AB，那么該橢圓的離心率是（　　）
精英家教網(wǎng)

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