(2012•藍(lán)山縣模擬)已知函數(shù)f(x)=
-x3+x2+bx+c,(x<1)
alnx,(x≥1)
和圖象過坐標(biāo)原點O,且在點(-1,f(-1))處的切線的斜率是-5.
(1)求實數(shù)b,c的值;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值;
(3)若函數(shù)y=f(x)圖象上存在兩點P,Q,使得對任意給定的正實數(shù)a都滿足△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上,求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)在點(-1,f(-1))處的切線的斜率是-5,圖象過坐標(biāo)原點,即可求得實數(shù)b,c的值;
(2)當(dāng)x<1時,f(x)=-x3+x2,求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,計算函數(shù)值,從而可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值;
(3)設(shè)P(x1,f(x1)),因為PQ中點在y軸上,所以Q(-x1,f(-x1)),根據(jù)OP⊥OQ,可得
f(x1)
x1
f(-x1)
-x1
=-1,分類討論,確定函數(shù)的解析式,利用
f(x1)
x1
f(-x1)
-x1
=-1,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)當(dāng)x<1時,f(x)=-x3+x2+bx+c,∴f′(x)=-3x2+2x+b
∵函數(shù)在點(-1,f(-1))處的切線的斜率是-5,∴f′(-1)=-5
∴-3-2+b=-5,∴b=0
∵f(0)=0,∴c=0
∴b=0,c=0
(2)當(dāng)x<1時,f(x)=-x3+x2,∴f′(x)=-3x2+2x
令f′(x)=0有-3x2+2x=0,∴x=0或x=
2
3

令f′(x)>0,可得0<x<
2
3
;令f′(x)<0,∵-1≤x≤1,∴-1≤x<0或
2
3
<x≤1

∴函數(shù)在-1,0,
2
3
,1出取得最值
∵f(-1)=2,f(0)=0,f(
2
3
)=
4
27
,f(1)=0
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為0;
(3)設(shè)P(x1,f(x1)),因為PQ中點在y軸上,所以Q(-x1,f(-x1)),
∵OP⊥OQ,∴
f(x1)
x1
f(-x1)
-x1
=-1
①當(dāng)x1=1時,f(x1)=0;當(dāng)x1=-1時,f(-x1)=0,∴
f(x1)
x1
f(-x1)
-x1
≠-1;
②當(dāng)-1<x1<1時,f(x1)=-x13+x12,f(-x1)=x13+x12,代入
f(x1)
x1
f(-x1)
-x1
=-1,可得(-x13+x12)(x13+x12)=x12,∴x14-x13+1=0,無解;
③當(dāng)x1>1時,f(x1)=alnx1,f(-x1)=x13+x12,代入
f(x1)
x1
f(-x1)
-x1
=-1,可得
1
a
=(x1+1)lnx1
;
設(shè)g(x1)=(x1+1)lnx1(x1>1),∴g′(x1)=lnx1+
x1+1
x1
>0,∴g(x1)是增函數(shù)
∵g(1)=0,∴g(x1)值域是(0,+∞)
∴對任意給定的正實數(shù)a,
1
a
=(x1+1)lnx1
恒有解,滿足條件
④由P,Q橫坐標(biāo)的對稱性可得,當(dāng)x1<-1時,f(x1)=-x13+x12,f(-x1)=aln(-x1),
代入
f(x1)
x1
f(-x1)
-x1
=-1,可得
1
a
=(-x1+1)ln(-x1)

設(shè)h(x1)=(-x1+1)ln(-x1)(x1<-1),∴h′(x1)=-ln(-x1)-
x1-1
x1
<0,∴h(x1)是減函數(shù)
∵h(yuǎn)(-1)=0,∴h(x1)值域是(0,+∞)
∴對任意給定的正實數(shù)a,
1
a
=(-x1+1)ln(-x1)
恒有解,滿足條件
綜上所述,滿足條件的點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為(-∞,-1)∪(1,+∞).
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確分類,靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•藍(lán)山縣模擬)已知m是一個給定的正整數(shù),如果兩個整數(shù)a,b被m除得的余數(shù)相同,則稱a與b對模m同余,記作a≡b(modm),例如:5≡13(mod4).若22010≡r(mod7),則r可以為( 。

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