Question

【題目】已知函數(shù).（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）當時，是否存在唯一的的值，使得？并說明理由；

（2）若存在，使得對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）存在唯一的，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式得，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值為，由可得出結(jié)論；

（2）設，利用導數(shù)求得當時，，由題意得出，利用參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.

（1）當時，，該函數(shù)的定義域為，.

令，得.

當時，；當時，.

所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以是函數(shù)的極小值點，也是函數(shù)的最小值點，即，

故存在唯一的，使得；

（2）設，則.

①先探究對任意的恒成立.

若，則，函數(shù)在上是減函數(shù)，

又，此時，不合題意；

若，當時，；當時，.

所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以是的極小值點，也是的最小值點，

即；

②再來探究：存在，使得成立.

分離変量得：存在，使得成立.

設，則.

令，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.

，當時，，則；當時，，則.

所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

所以，，.

故實數(shù)的取值范圍是.