【題目】如圖,在四棱錐中,,,,,.
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接、,利用勾股定理逆定理證明出,,利用線面垂直的判定定理得出平面,然后利用面面垂直的判定定理可得出結(jié)論;
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用空間向量法能求出二面角的余弦值.
(1)取的中點(diǎn),連接、,
,,為的中點(diǎn),則,
又,即,又,所以,四邊形為矩形,
,且,,
,,,則.
,,則為等邊三角形,則,
,則,
,平面,平面,因此,平面平面;
(2)由(1)知,四邊形為矩形,則,
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為、軸,以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸,建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系,
則、、,,,
設(shè)平面的法向量為,
由,令,則,,
所以,平面的一個(gè)法向量為,
易知平面的一個(gè)法向量為,,
由圖象可知,二面角的平面角為銳角,它的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(1)求的值及函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心;
(2)已知分別為Δ中角的對(duì)邊,且滿足,求Δ周長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,﹣2)的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)△OMN的面積最大時(shí)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】.
為了解某校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績(jī)分布,從該校參加質(zhì)檢的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)中抽取一個(gè)樣本,并分成5組,繪成如圖所示的頻率分布直方圖.若第一組至第五組數(shù)據(jù)的頻率之比為,最后一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)是6.
(Ⅰ)估計(jì)該校高三學(xué)生質(zhì)檢數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>125~140分之間的概率,并求出樣本容量;
(Ⅱ)從樣本中成績(jī)?cè)?/span>65~95分之間的學(xué)生中任選兩人,求至少有一人成績(jī)?cè)?/span>65~80分之間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角極坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為其中為參數(shù),其中為的傾斜角,且其中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程,曲線C2的極坐標(biāo)方程.
(1)求C1、C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)P(-2,0),與C1交于點(diǎn),與C2交于A,B兩點(diǎn),且,求的普通方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)求在上的解析式;
(2)若,函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)使得的最小值為,若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,已知曲線:和曲線:,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)是曲線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作線段的垂線交曲線于點(diǎn),求線段長(zhǎng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖幾何體是圓錐的一部分,它是Rt△ABC(及其內(nèi)部)以一條直角邊AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)150°得到的,AB=BC=2,P是弧上一點(diǎn),且EB⊥AP.
(1)求∠CBP的大。
(2)若Q為AE的中點(diǎn),D為弧的中點(diǎn),求二面角Q﹣BD﹣P的余弦值;
(3)直線AC上是否存在一點(diǎn)M,使得B、D、M、Q四點(diǎn)共面?若存在,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】年月日,小劉從各個(gè)渠道融資萬(wàn)元,在某大學(xué)投資一個(gè)咖啡店,年月日正式開業(yè),已知開業(yè)第一年運(yùn)營(yíng)成本為萬(wàn)元,由于工人工資不斷增加及設(shè)備維修等,以后每年成本增加萬(wàn)元,若每年的銷售額為萬(wàn)元,用數(shù)列表示前年的純收入.(注:純收入前年的總收入前年的總支出投資額)
(1)試求年平均利潤(rùn)最大時(shí)的年份(年份取正整數(shù))并求出最大值.
(2)若前年的收入達(dá)到最大值時(shí),小劉計(jì)劃用前年總收入的對(duì)咖啡店進(jìn)行重新裝修,請(qǐng)問(wèn):小劉最早從哪一年對(duì)咖啡店進(jìn)行重新裝修(年份取整數(shù))?并求小劉計(jì)劃裝修的費(fèi)用.
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