Question

（2009•湖北模擬）已知函數y=f（x）是R上的偶函數，對于x∈R都有f（x-6）=f（x）+f（3）成立，且f（0）=-2，當x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．則給出下列命題：
①f（2010）=-2；
②函數y=f（x）圖象的一條對稱軸為x=-6；
③函數y=f（x）在[-9，-6]上為增函數；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個根．
其中正確命題的序號是

①②④

．（請將你認為是真命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①對于條件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=-3，再結合函數為偶函數可得f（-3）=f（3）=0，代入已知條件可得函數的周期為6，從而得到f（2010）=-2；
②欲證“直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸”，即證f（-6+x）=f（-6-x）；
③當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，說明函數在區(qū)間上是增函數，再用周期性的奇偶性可得結論不正確；
④由①的結論可知在區(qū)間[-9，9]上f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，再結合單調函數根的分布可得結論正確．

解答：解：對于①，先令x=3，即有f（-3）=f（3）+f（3），
再依據函數y=f（x）是R上的偶函數，有f（-3）=f（3），得f（3）=0，
這樣f（x-6）=f（x）+f（3）=f（x）函數f（x）的周期就是6，
因此f（2010）=f（335×6）=f（0）=-2；
對于②，∵f（x-6）=f（x）+f（3），
又∵f（-x-6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）
∴f（-6+x）=f（-6-x）
∴直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，故②對；
對于③，首先根據：當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
說明函數在區(qū)間[0，3]上是增函數，再結合函數的周期為6，
將區(qū)間[0，3]右移6個單位，可得函數在[6，9]上為增函數
又∵函數為偶函數，在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反
∴函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數，可得③不正確；
對于④，根據①的結論，f（-3）=f（3）=0，再結合函數周期為6
得f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，
再根據在某個區(qū)間上的單調函數在這個區(qū)間內至多有一個零點，
得函數f（x）在[-9，9]上只有以上4個零點，所以④正確．
故答案為①②④．

點評：抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的規(guī)律性．結合賦值法和準確把握對應法則及函數的相應的性質，是解決本題的關鍵．