Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x+2）2（x＞0）．
（1）若f（x）是（0，+∞）的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng) 時，求證：函數(shù)f（x）有最小值，并求函數(shù)f（x）最小值的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．

∴ex+（x﹣2）ex+2ax+4a≥0，∴ ，

令 ， ，

∴ ，∴

（2）解：[f'（x）]′=xex+2a＞0，

∴y=f'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，

∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0

∴x∈（0，t）時，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）時，f'（x）＞0，

當(dāng)x=t時， 且有f'（t）=et（t﹣1）+2a（t+2）=0，

∴ ．

由（1）知 在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞減， ，且 ，

∴t∈（0，1）．

∴ ， ，

∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，

∴f（x）的最小值的取值范圍是（﹣e，﹣1）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，通過f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到 ，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解即可．（2）通過[f'（x）]′=xex+2a＞0，數(shù)碼y=f'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，利用零點判定定理說明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判斷x=t， ，推出 ．即 在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，通過求解函數(shù)的最值，求解f（x）的最小值的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．