Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與a _n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列（如：在a₁與a₂之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₂，…以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是A_n．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）n≥2時(shí)，由a _n+1=2S_n+2，得a_n=2S _n﹣1+2
兩式相減可得：a _n+1﹣a_n=2a_n，
∴a _n+1=3a_n，即數(shù)列{a_n}的公比為3
∵n=1時(shí)，a₂=2S₁+2，
∴3a₁=2a₁+2，解得a₁=2，
∴a_n=2×3 ^n﹣1；
（2）由（1）知a_n=2×3 ^n﹣1，a _n+1=2×3ⁿ，
因?yàn)閍 _n+1=a_n+（n+1）d_n，所以d_n=
第n個(gè)等差數(shù)列的和是
A_n=（n+2）a_n+×=4（n+2）×3 ^n﹣1=（n+2）（n+1）d_n，
∴存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n）=（n+2）（n+1），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N*恒成立；
（3）假設(shè)在數(shù)列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列
則d_k2=d_md_p，
即（）2=×
因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以m+p=2k①
上式可以化簡(jiǎn)為k²=mp②
由①②可得m=k=p
這與題設(shè)矛盾{d_n}中不存在三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．