Question

【題目】如圖1在△中，，、分別為線段、的中點，，．以為折痕，將△折起到圖2的位置，使平面⊥平面，連接，，設是線段上的動點，滿足．

（1）證明：平面⊥平面；

（2）若二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由已知得，平面，從而，由，得，由此能證明平面⊥平面；（2）以為坐標原點，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為，又知平面的法向量為，由此利用空間向量夾角余弦公式余弦公式能求出.

試題解析：（1）∵平面平面，，

∴平面，∴，

∵，分別為中點，

∴，，

在直角三角形中，．

∴，可得，

∴平面，

又平面，

∴平面⊥平面．

（2）以為坐標原點，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，

各點坐標分別為，，，，，，

∵，∴，

∴，

設平面的法向量為，，，

∴取，

又∵平面的法向量為，

∴，化為，解得，

又∵，∴．