Question

給出平面幾何的一個定理：底邊長和腰長都確定的等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和為定值．將此結(jié)論類比到空間，寫出在三棱錐中類似的結(jié)論為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，在由平面幾何性質(zhì)，類比推理空間幾何體的性質(zhì)，一般是：由點的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理面的性質(zhì)，由面的性質(zhì)類比推理體的性質(zhì)．

解答：解：設(shè)等腰三角形ABC的底邊BC=a和腰AB=AC=b確定，
則它的高h(yuǎn)確定，設(shè)P是底邊BC上任一點，P到兩腰的距離分別為h₁，h₂，
由面積分割得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC，
即

1

2

ah=

1

2

b(h1+h2)，故h1+h2=

a

b

h為定值．
類似地，設(shè)正三棱錐S-ABC的底面邊長和棱長確定，
則它的高h(yuǎn)確定，底面積S確定，一個側(cè)面的面積S'也確定，
設(shè)P是底面ABC上任一點，P到到三個側(cè)面的距離分別為h₁，h₂，h₃，
由體積分割得：V_S-ABC=V_P-SAB+V_P-SBC+V_P-SAC，
即

1

3

Sh=

1

3

S′(h1+h2+h3)，故h1+h2+h3=

S

S′

h為定值．
故答案為：底面邊長和側(cè)棱長都確定的底面上任意一點到三個側(cè)面的距離之和為定值

點評：本小題是一道類比推理問題，主要考查創(chuàng)新思維能力．事實上，平面幾何中的不少定理、結(jié)論都可以類比推廣到空間中去，值得我們進一步去探索和研究．