Question

下列曲線的所有切線構(gòu)成的集合中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是（　�。�

• A、f（x）=e^x
• B、f（x）=x³
• C、f（x）=lnx
• D、f（x）=sinx

Answer 1

分析：設(shè)出切點坐標(biāo)，利用曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率，將存在無數(shù)對互相垂直的切線轉(zhuǎn)化為f′（x₁）•f′（x₂）=-1有無數(shù)對x₁，x₂使之成立；對四個選項的函數(shù)判斷是否符合．

解答：解：設(shè)切點的橫坐標(biāo)為x₁，x₂
則存在無數(shù)對互相垂直的切線，即f′（x₁）•f′（x₂）=-1有無數(shù)對x₁，x₂使之成立
對于A由f′（x）=e^x＞0，
所以不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
對于B由于f′（x）=3x²＞0，
所以也不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立；
對于C由于f（x）=lnx的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

＞0，
對于Df′（x）=cosx，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=cosx₁•cosx₂，
當(dāng)x₁=2kπ，x₂=（2k+1）π，k∈Z，
f′（x₁）•f′（x₂）=-1恒成立．
故選D

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在切點處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；等價轉(zhuǎn)化的能力．