對于函數(shù)f(x),若存在xo∈R,使f(xo)=xo成立,則稱xo為f(x)的不動點(diǎn).如果函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點(diǎn)0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,求證:-
1
an+1
<ln
n+1
n
<-
1
an
;
(3)設(shè)bn=-
1
an
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:T2009-1<ln2009<T2008
分析:(1)設(shè)
x2+a
bx-c
=x,則(1-b)x2+cx+a=0(b≠1),故
2+0=-
c
1-b
2×0=
a
1-b
,f(x)=
x2
(1+
c
2
)x-c
.由f(-2)=
-2
1+c
<-
1
2
,知-1<c<3,由b,c∈N*,知c=2,b=2,f(x)=
x2
2(x-1)
(x≠1).于是f′(x)=
2x•2(x-1)-x2•2
4(x-1)2
=
x2-2x
2(x-1)2
.由此能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由2Sn=an-an2,知2Sn-1=an-1-an-12,兩式相減得(an+an-1)(an-an-1+1)=0,故an=-an-1或an-an-1=-1.待證不等式為
1
n+1
<ln
n+1
n
1
n
.考慮證明不等式
1
x+1
<ln
x+1
x
1
x
,x>0.由此入手能夠證明-
1
an+1
<ln
n+1
n
<-
1
an

(3)由bn=
1
n
,知Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
.在
1
n+1
<ln
n+1
n
1
n
中令n=1,2,3,…2008,并將各式相加能夠證明T2009-1<ln2009<T2008
解答:解:(1)設(shè)
x2+a
bx-c
=x⇒(1-b)x2+cx+a=0(b≠1)
2+0=-
c
1-b
2×0=
a
1-b
,∴
a=0
b=1+
c
2
,∴f(x)=
x2
(1+
c
2
)x-c

由f(-2)=
-2
1+c
<-
1
2
⇒-1<c<3,又∵b,c∈N*,∴c=2,b=2,
∴f(x)=
x2
2(x-1)
(x≠1)…(3分)
于是f′(x)=
2x•2(x-1)-x2•2
4(x-1)2
=
x2-2x
2(x-1)2

由f′(x)>0得x<0或x>2;   由f′(x)<0得0<x<1或1<x<2,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞),
單調(diào)減區(qū)間為(0,1)和(1,2)…(4分)
(2)由已知可得2Sn=an-an2,當(dāng)n≥2時,2Sn-1=an-1-an-12
兩式相減得(an+an-1)(an-an-1+1)=0,∴an=-an-1或an-an-1=-1,
當(dāng)n=1時,2a1=a1-a12⇒a1=-1,若an=-an-1,則a2=1這與an≠1矛盾
∴an-an-1=-1,∴an=-n                       …(6分)
于是,待證不等式即為
1
n+1
<ln
n+1
n
1
n

為此,我們考慮證明不等式
1
x+1
<ln
x+1
x
1
x
,x>0.
令1=
1
x
=t,x>0,則t>1,x=
1
t-1

再令g(t)=t-lnt,g′(t)=1-
1
t
,
    由t∈(1,+∞)知g′(t)>0.
∴當(dāng)t∈(1,+∞)時,g(t)單調(diào)遞增
∴g(t)>g(1)=0,
  于是t-1>lnt,即
1
x
>ln
x+1
x
,x>0        ①
令h(t)=lnt-1+
1
t
,h′(t)=
1
t
-
1
t2
=
t-1
t2
,
由t∈(1,+∞)知h′(t)>0,
∴當(dāng)t∈(1,+∞)時,h(t)單調(diào)遞增
∴h(t)>h(1)=0   于是lnt>1-
1
t
即ln
x+1
x
1
x+1
,x>0     ②
由①、②可知
1
x+1
<ln
x+1
x
1
x
,x>0                  …(10分)
所以,
1
n+1
<ln
n+1
n
1
n
,即-
1
an+1
<ln
n+1
n
<-
1
an
       …(11分)
(3)由(2)可知bn=
1
n
   則Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

1
n+1
<ln
n+1
n
1
n
中令n=1,2,3,…2008,并將各式相加得
1
2
+
1
3
+…+
1
2009
<ln
2
1
+ln
3
2
+…+ln
2009
2008
<1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2008

即T2009-1<ln2009<T2008.                         …(14分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列和不等式的綜合,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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對于函數(shù)f(x),若存在區(qū)間M=[a,b](其中a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,則稱區(qū)間M為函數(shù)f(x)的一個“穩(wěn)定區(qū)間”.給出下列4個函數(shù):
①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
(填出所有滿足條件的函數(shù)序號)

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對于函數(shù)f(x),若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a,b(a<b),使當(dāng)x∈[a,b]時,f(x)的值域也是[a,b],則稱函數(shù)f(x)為“科比函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=k+
x+2
是“科比函數(shù)”,則實數(shù)k的取值范圍是
 

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對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點(diǎn).如果函數(shù)
f(x)=ax2+bx+1(a>0)有兩個相異的不動點(diǎn)x1,x2
(1)若x1<1<x2,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,求證:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范圍.

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對于函數(shù)f(x),若f(x0)=x0,則稱x0為f(x)的:“不動點(diǎn)”;若f[f(x0)]=x0,則稱x0為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)f(x)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即A={x|f[f(x)]=x}.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求證:B=∅;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論判斷A=B恒成立?若能,請給出證明,若不能,請舉以反例.

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對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點(diǎn).若函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點(diǎn)0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,
(2)已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,求證:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前題條件下,設(shè)bn=-
1
an
,Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和,求證:T2011-1<ln2011<T2010

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