【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,半圓O以BC為直徑,平面ABCD垂直于半圓O所在的平面,P為半圓周上任意一點(與B、C不重合).
(1)求證:平面PAC⊥平面PAB;
(2)若P為半圓周中點,求此時二面角P﹣AC﹣D的余弦值.
【答案】
(1)證明:∵半圓O以BC為直徑,
∴PC⊥PB,
∵平面ABCD垂直于半圓O所在的平面,ABCD是矩形,
∴AB⊥底面BPC,則AB⊥PC,
∵AB∩BP=B,
∴PC⊥面PAB,
∵PC平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PAB,
(2)解:連接OP,作OE垂直BC,建立以O(shè)為坐標(biāo)原點,OP,OE,OC分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:
則P(1,0,0),C(0,1,0),D(0,1,1),A(0,﹣1,1)
=(﹣1,﹣1,1), =(﹣1,1,0),
則平面ACD的一個法向量為 =(1,0,0),
設(shè) =(x,y,z)是平面PAC的法向量,
則 ,
令x=1,則y=1,z=2,即 =(1,1,2),
cos< , >= = = ,
∵二面角P﹣AC﹣D是鈍二面角,
∴二面角P﹣AC﹣D的余弦值是﹣ .
【解析】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明PC⊥面PAB即可證明平面PAC⊥平面PAB;(2)連接OP,作OE垂直BC,建立以O(shè)為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系如圖:求出平面的法向量,利用向量法進行求解即可二面角P﹣AC﹣D的余弦值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定,需要了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校進行社會實踐,對歲的人群隨機抽取 1000 人進行了一次是否開通“微博”的調(diào)查,開通“微博”的為“時尚族”,否則稱為“非時尚族”.通過調(diào)查得到到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示,其中在歲, 歲年齡段人數(shù)中,“時尚族”人數(shù)分別占本組人數(shù)的、.
(1)求歲與歲年齡段“時尚族”的人數(shù);
(2)從歲和歲年齡段的“時尚族”中,采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡(luò)時尚達人大賽,其中兩人作為領(lǐng)隊.求領(lǐng)隊的兩人年齡都在歲內(nèi)的概率。
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【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知a=6,sinA= ,B=A+ ;
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=的定義域為M.
(1)求M;
(2)當(dāng)x∈M時,求g(x)=4x﹣2x+1+1的值域.
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【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=log.
(1)當(dāng)a=1時,解不等式f(x)>1;
(2)若關(guān)于x的方程g(x)=f(x)﹣log3(ax+1)有且只有一個零點,求a的取值范圍;
(3)設(shè)0<a<1,若對任意t,函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.
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【題目】若f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù),x1 , x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 ,則( )
A.f(3)<f(1)<f(﹣2)
B.f(1)<f(﹣1)<f(3)
C.f(﹣2)<f(1)<f(3)
D.f(3)<f(﹣2)<f(1)
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【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,C,F(xiàn)為⊙O上的兩點,OC⊥AB,過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D,連接CF交AB于點E.求證:DE2=DADB.
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【題目】下列說法錯誤的是( )
A.若a,b∈R,且a+b>4,則a,b至少有一個大于2
B.若p是q的充分不必要條件,則¬p是¬q的必要不充分條件
C.若命題p:“ >0”,則¬p:“ ≤0”
D.△ABC中,A是最大角,則sin2A>sin2B+sin2C是△ABC為鈍角三角形的充要條件
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