解:(I)①∵c
1:y
2=4mx的右焦點F
2(m,0)∴橢圓的半焦距c=m,
又
,∴橢圓的長半軸的長a=2m,短半軸的長
.
橢圓方程為
,
∴當(dāng)m=1時,故橢圓方程為
.
②由題意得,若x=3,則y=±2
,線段AB不可能被點P(3,2)平分,
∴直線l的斜率k一定存在,不妨設(shè)直線l的方程為:y-2=k(x-3),A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
由
得ky
2-4y-12k+8=0,
∴y
1+y
2=
=4,∴k=1,
∴直線l的方程為:y-2=x-3,即y=x-1.
(II)假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)m,
由
,解得:
,
∴
,
,又
.
即△QF
1F
2的邊長分別是
、
、
.
∵
∴m=3,
故存在實數(shù)m使△PF
1F
2的邊長是連續(xù)的自然數(shù).
分析:(I)①當(dāng)m=1時,拋物線C
1方程可知,所以橢圓C
2中c與a值可求,進(jìn)而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
②由題意得,若x=3,則y=±2
,線段AB不可能被點P(3,2)平分.直線l的斜率k一定存在,不妨設(shè)直線l的方程為:y-2=k(x-3),A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),將直線的方程代入橢圓的方程,消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點坐標(biāo)公式即可求得k值,從而求得直線l的方程.
(II)先假設(shè)存在實數(shù)m,使得△QF
1F
2的邊長是連續(xù)的自然數(shù),由P點為拋物線與橢圓在第一象限的焦點,所以只要根據(jù)拋物線方程求出橢圓方程,再聯(lián)立,即可得出Q點坐標(biāo),從而分別求出△QF
1F
2的三邊長,讓三邊成公差為1得等差數(shù)列,求m的值,若能求出,則存在,若不能求出,則不存在.
點評:本題考查拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì),弦長公式的應(yīng)用,考查了橢圓、拋物線與直線的位置關(guān)系以及存在性問題,綜合性強(qiáng),做題時認(rèn)真觀察,找出切入點.