四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線
上,A,C關(guān)于
軸對稱,BD平行于拋物線在點C處的切線。
(Ⅰ)證明:AC平分
;
(Ⅱ)若點A坐標為
,四邊形ABCD的面積為4,求直線BD的方程。
試題分析:(Ⅰ)依題意設(shè)出A、B、C、D四點的坐標,注意到AC的斜率為0,只需證AB、AD的斜率之和為0即可;(Ⅱ)四邊形ABCD可以AC為底分成兩個三角形求出面積,解出得到的方程即可.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)A(x
0,
),B(x
1,
),C(-x
0,
),D(x
2,
).
對y=x
2求導(dǎo),得y¢=2x,則拋物線在點C處的切線斜率為-2x
0.
直線BD的斜率k=
=x
1+x
2,
依題意,有x
1+x
2=-2x
0.
記直線AB,AD的斜率分別為k
1,k
2,與BD的斜率求法同理,得
k
1+k
2=(x
0+x
1)+(x
0+x
2)=2x
0+(x
1+x
2)=0,
所以∠CAB=∠CAD,即AC平分∠BAD.
(Ⅱ)由題設(shè),x
0=-1,x
1+x
2=2,k=2.四邊形ABCD的面積
S=
|AC|·
=
|AC|·|x
2+x
1|·|x
2-x
1|
=
×2×2×|2-2x
1|=4|1-x
1|,
由已知,4|1-x
1|=4,得x
1=0,或x
1=2.
所以點B和D的坐標為(0,0)和(2,4),
故直線BD的方程為y=2x.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知經(jīng)過點A(-4,0)的動直線l與拋物線G:
相交于B、C,當直線l的斜率是
時,
.
(Ⅰ)求拋物線G的方程;
(Ⅱ)設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知動圓C經(jīng)過點
,且在x軸上截得弦長為2,記該圓圓心的軌跡為E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)過點
的直線m交曲線E于A,B兩點,過A,B兩點分別作曲線E的切線,兩切線交于點C,當△ABC的面積為
時,求直線m的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線
的焦點
以及橢圓
的上、下焦點及左、右頂點均在圓
上.
(1)求拋物線
和橢圓
的標準方程;
(2)過點
的直線交拋物線
于
兩不同點,交
軸于點
,已知
,求
的值;
(3)直線
交橢圓
于
兩不同點,
在
軸的射影分別為
,
,若點
滿足
,證明:點
在橢圓
上.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線
,過其焦點且斜率為-1的直線交拋物線于
兩點,若線段
的中點的橫坐標為3,則該拋物線的準線方程為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線的頂點在原點,焦點在y軸上,拋物線上的點
到焦點的距離為4,則
的值為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
在拋物線
:
上有一點
,若它到點
的距離與它到拋物線
的焦點的距離之和最小,則點
的坐標是________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知拋物線
的焦點
與雙曲線
的右焦點重合,拋物線的準線與
軸的交點為
,點
在拋物線上且
,則△
的面積為
.
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