Question

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ討論的單調(diào)性；

Ⅱ若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

Ⅲ當(dāng)時(shí)，設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底若正實(shí)數(shù)滿足，證明：

Answer 1

【答案】Ⅰ見(jiàn)解析ⅡⅢ證明見(jiàn)解析

【解析】

Ⅰ求導(dǎo)后討論的取值范圍進(jìn)行分析即可

Ⅱ參變量分離后有恒成立,再設(shè)函數(shù)求導(dǎo)分析最大值即可.

Ⅲ先證：存在,使得,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列構(gòu)造函數(shù),代入所證明的表達(dá)式中的自變量化簡(jiǎn)分析即可.

Ⅰ函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),令解得,令解得,故此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；

Ⅱ對(duì)恒成立,即為對(duì)任意的,都有,

設(shè),則,令,則,

在上單調(diào)遞減,且,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；

當(dāng)單調(diào)遞減,

,

實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

Ⅲ證明：當(dāng)時(shí),,不妨設(shè),

下先證：存在,使得,

構(gòu)造函數(shù),顯然,且,

則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,存在,使得,即存在,使得,

又為增函數(shù),

,即,

設(shè),則,

,

,

由得,,

即