Question

如圖，點A，B是單位圓上的兩點，A，B點分別在第一、二象限，點C是圓與x軸正半軸的交點，△AOB是正三角形，若點A的坐標為（

3

5

，

4

5

），記∠COA=α．
（1）求

1+sin2α

1+cos2α

的值；
（2）求|BC|²的值．

Answer 1

分析：（1）A的坐標為（

3

5

，

4

5

），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinα和cosα的值，代入所求的式子進行運算．
 （2）cos∠COB=cos（α+60°），利用兩角和的余弦公式展開運算，三角形中利用余弦定理求邊長的平方．

解答：解：（1）∵A的坐標為（

3

5

，

4

5

），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴

1+sin2α

1+cos2α

=

1+2sinαcosα

2cos2α

=

49

18

．
（2）∵△AOB為正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

，
∴|BC|² =|OC|²+|OB|²-2|OC|•|OB|cos∠COB=1+1-2×

3-4 3

10

=

7+4 3

5

．

點評：本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的余弦公式的應用，利用余弦定理求邊長的平方．