Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，D、E、F分別是邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且AE=AF，△AEF的外接圓交線段AD于點(diǎn)P.若點(diǎn)P滿足，證明：.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

在△AEF的外接圓中，由于AE=AF，

故.

因此，P、D、B、F與P、D、C、E分別四點(diǎn)共圓.

于是，.

如圖，設(shè)P在邊BC、CA、AB上的射影分別為、、.則△.

由，得

.①

設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，下證：B、I、P、C四點(diǎn)共圓.

聯(lián)結(jié).因和分別四點(diǎn)共圓，

則.

又由式①，有.

所以，.

因此，..

而，，

所以，

又，

，.

故.

因此，B、I、P、C四點(diǎn)共圓.

于是，.

如圖，延長AM交△ABC的外接圓于點(diǎn)O，則AO為外接圓的直徑.于是，OB⊥AB，OC⊥AC，且OB=OI=OC.

因此，點(diǎn)O是點(diǎn)B、I、P、C所在圓的圓心.

從而，AB、AC為的切線.

延長AD交于點(diǎn)T，則.

所以，.

又由，得.

因AB=AC，故

.②

延長PM到點(diǎn)G，使GM=PM，則四邊形BPCG為平行四邊形有

.③

由式②得.④

由式③、④得.

所以，，即

.