【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)、

切比雪夫距離,又設(shè)點(diǎn)上任意一點(diǎn),稱的最小值為點(diǎn)

直線切比雪夫距離,記作,給出下列三個命題:

對任意三點(diǎn)、、,都有;

已知點(diǎn)和直線,則;

定點(diǎn)、,動點(diǎn)滿足),

則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個公共點(diǎn);

其中真命題的個數(shù)是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】設(shè),由題意可得:

同理可得: ,則:

,

命題①成立;

設(shè)點(diǎn)Q是直線y=2x-1上一點(diǎn),且Qx,2x-1),可得,

,解得,即有,當(dāng)時取得最小值;

,解得,即有,

的范圍是,無最小值.

綜上可得,P,Q兩點(diǎn)的切比雪夫距離的最小值為.

說法②正確.

定點(diǎn)、,動點(diǎn)滿足),則:

,

顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱,故不妨設(shè)x≥0y≥0.

(1)當(dāng)時,有,得: ;

(2)當(dāng)時,有,此時無解;

(3)當(dāng)時,有;

則點(diǎn)P的軌跡是如圖所示的以原點(diǎn)為中心的兩支折線.

結(jié)合圖象可知,點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù))有且僅有2個公共點(diǎn),命題③正確.

綜上可得命題①②③均正確,真命題的個數(shù)是3.

本題選擇D選項.

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