Question

已知定義在區(qū)間[-π，

2

3

π]上的函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ≤π）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對(duì)稱，當(dāng)x∈[-

π

6

，

2π

3

]時(shí)，f（x）的圖象如圖所示．
（1）求f（x）在[-π，

2

3

π]上的表達(dá)式；
（2）求方程f（x）=

2

2

的解．

Answer 1

分析：（1）由圖知：A=1，T=4（

2π

3

-

π

6

），可得ω的值，然后分類討論：當(dāng)x∈[-

π

6

，

2π

3

]時(shí)，代點(diǎn)可得φ值，可得解析式，同理可得當(dāng)x∈[-π，-

π

6

]時(shí)的解析式，綜合可得；（2）由解析式可得函數(shù)在區(qū)間[-

π

6

，

2π

3

]的解，結(jié)合對(duì)稱性可得函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的解，綜合可得．

解答：解：（1）由圖知：A=1，T=4（

2π

3

-

π

6

）=2π，∴ω=

2π

T

=1
當(dāng)x∈[-

π

6

，

2π

3

]時(shí)，將（

π

6

，1）代入f（x）得f（

π

6

）=sin（

π

6

+φ）=1，
又0＜φ≤π，∴φ=

π

3

，
∴當(dāng)x∈[-

π

6

，

2π

3

]時(shí)，f（x）=sin（x+

π

3

）
同理可得當(dāng)x∈[-π，-

π

6

]時(shí)，f（x）=sin（x+π）=-sinx
綜上可得，f（x）=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 ， 2π 3 ] -sinx，         x∈[-π，- π 6 ]

（2）由f（x）=

2

2

在區(qū)間[-

π

6

，

2π

3

]內(nèi)可得x₁=

5π

12

，x₂=-

π

12

，
∵y=f（x）圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對(duì)稱，
∴x₃=-

π

4

，x₄=-

3π

4

，
∴f（x）=

2

2

的解為：

5π

12

，-

π

12

，-

π

4

，-

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)解析式的確定，涉及分類討論的思想和函數(shù)圖象的對(duì)稱性，屬中檔題．